3囚人問題とは、数学と心理学が融合したクイズです。
一見すると簡単な確率問題ですが、心理効果が加わることで多くの人が誤答に誘導されてしまいます。
問題
3人の囚人A,B,Cのうち、2人が処刑され、1人は釈放されることが分かっている。
誰が釈放されるか知っている看守に対し、Aが「BとCのうち少なくとも1人は処刑されるのだから、2人のうち処刑される1人の名前を教えても私が釈放についての情報を与えることにはならないだろう、1人教えてくれないか？」と言った。
看守は納得して、「Bが処刑される」と話した。
それを聞いてAは「これで釈放されるのは自分とCだけになったので、自分の助かる確率は1/3から1/2に増えた」と喜んだ。
Aが釈放される本当の確率はいくらか？
ヒント
この問題を解くカギは「問題に潜んでいる心理効果を排除すること」です。
問題には心理効果の1つ「主観的定理」に分類されるもののうち、下記4定理が応用されています。
- 場合の数の定理
- 不変の定理
- 等比率の定理
- 選択肢-確率反比例のメタ定理
「場合の数の定理」「不変の定理」は、処刑される2人は既に決まっているから、看守の言葉の前後で確率が変わらないとするもの。それ自体は悪くありませんが、計算式も変更せずに考えようとするため誤答してしまいます。
「等比率の定理」は、3人とも釈放される確率は平等とするもの。
「選択肢-確率反比例のメタ定理」は、選択肢が少なくなった場合、残りそれぞれが選ばれる確率は増加するが、減少することは無いとするもの。
こうした定理を信じすぎることで1つの条件や式にこだわってしまい、新たな条件「Bが処刑」が与えられた時に違う式を持ちだすことができなくなる、というのが主観的定理です。
よくある誤答例
正答の前に、問題が誘導している誤答例を見てみましょう。
【誤答例】
A,B,Cのうち1人が釈放されるから、Aの釈放確率は1/3。
看守の言葉「Bが処刑」に関わらずこの確率は不変。
これだと看守の言葉を考慮できていません。
無理矢理考慮しようとして、この考え方に「Bが処刑」の条件を加えると、Bが釈放されるパターンが消えるため、AかCが釈放となり、確率は1/2になります。
そうなると問題文中でAが言っていたのと同じになってしまいます。
答えはこちら
正答のポイント
- A,B,Cは平等ではない
「Bが処刑」という条件があるため、Bが釈放されることは無い。 - 条件「Aが釈放される」にこだわりすぎない
複数の条件があるとき、人は1つずつ正しいか確認しがちです。
そして、確認するうちに残りの条件を忘れてしまうのです。
「Aが釈放される確率」とともに、「看守が「Bが処刑される」と話す確率」も確認する必要があります。 - ベイズの定理
ベイズの定理は、2つの事象(XとY)の組み合わせを1事象として、その発生確率を求める式です。
特に事象Xの値によってYの確率が変化する場合に用います。
例えば今回であれば、「『Aが釈放』かつ『看守がBの処刑を話す』」という事象の発生確率を求めますが、Aが釈放されるかBが釈放されるかによって看守が「Bが処刑」と話す確率が変化します。
Aが釈放なら看守はBかCのどちらかが処刑と話すので、確率1/2。Bが釈放の場合は、Bが処刑されるはずないので確率0です。
分子＝(事象Xが対象の値をとる確率)×(そのときの事象Yの発生確率)
分母＝Σ｛(事象Xがある値をとる確率)×(そのときの事象Yの発生確率)｝
※Σの意味：Xが取りうる全ての値について積算します。
上記を用いて、「求める確率＝分子/分母」で求めることができます。
解き方
1．A,B,Cがそれぞれ釈放される確率はいずれも1/3。
P(A)=P(B)=P(C)=1/3
2．看守が「Bが処刑」と話す確率を求める。
(i)Aが釈放される場合
BとCが処刑されるから、確率P(B|A)=1/2で「Bが処刑」と話す。
(ii)Bが釈放される場合
Bは処刑されないから、確率はP(B|B)=0。
(iii)Cが釈放される場合
BとCのうちBのみが処刑されるため、確率はP(B|C)=1。
3．ベイズの定理を使う
上記の確率を当てはめると、ベイズ式は以下のようになります。
よって1/3が答えです。
結局、「Bが処刑」の条件を加えてもAの釈放確率は変わらないことが証明できましたね。
主観的定理を理解し、「1つの式にこだわらない」ことが重要です。
入試や資格試験でも応用できそうですね。