かみ速study

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ピザM2枚とL1枚どっちがお得?高校数学で考えてみた【東大数学】

 

 

こんばんは!かみです!

 

本日は日常生活に潜む何気ない疑問を真剣に考えてみるという、なんとも無駄な時間を綴ってみました。

 

先日ですね、ピザを頼んだんです。

某ピザ屋さんで注文したところ、Mサイズのピザなら1枚頼めば2枚目が無料でもらえるらしいんです。

もちろん2枚頼みますよね?

 

でも2人で食べる予定だったので、2枚も食べきれないかなとも思いました。

そしたら、

Lサイズ1枚なら半額にしますよ

って言われたんです。

 

めちゃめちゃお得じゃん!!

でもMサイズよりもLサイズのが高いわけです。

おそらくですが、スーパーのお肉みたいに、グラムあたりの値段は変わらないようにしてあるんでしょうね。

 

でも1つ決定的な違いがありますよね??

そうです!同じグラムでも、1枚と2枚じゃ形が違うじゃないですか!

ってことは、ピザの”耳”の大きさが違うんじゃないか!と考えたわけです。

 

まあ耳好きな方もいらっしゃると思いますが、私としては耳の部分って具が載ってませんし、少ない方が良いんです。

 

ということで今回はMサイズ2枚とLサイズ1枚、どちらの具が多いのかを検証してみました。

 

 

前提

まず仮定として、グラム当たりの値段が同じとします。

また、考えやすくするためにMサイズ2枚とLサイズ1枚を同じグラムとして考えてみます。

つまり、MサイズはLサイズの半分の大きさで、半額ということです。

Mサイズ1枚1000円とすると、Mサイズを1枚買うと2枚目無料ですから、1000円でM2枚手に入ることになります。

一方、グラム当たりの値段が同じなので、Lサイズ1枚2000円となります。

Lサイズは1枚買うと半額なので、1000円でLサイズ1枚手に入るわけですね。

 

どちらのパターンでも、同じ量を同じ値段で入手できます。

違うのは形が1枚か2枚かという点だけです。

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では、どちらの方がより具が多いのか、高校数学を活用して本気で計算していきます。

 

面積計算

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まず、ピザを円とみなします。

Mサイズのピザの半径をRとし、耳を除いた具部分の半径をaとします。

するとM1枚について、全面積はπ×R^2、具面積はπ×a^2です。

2枚あるので、合計全面積は2×(π×R^2)、合計具面積は2×(π×a^2)となります。

 

よって全面積のうち具面積が占める割合は、具面積/全面積で求められますので、「2×(π×a^2)/{2×(π×R^2)}=(a^2)/(R^2)」です。

 

 

一方、Lサイズ1枚の半径をR'、具部分の半径をa'とすると、全面積π×R'^2、具面積はπ×a'^2となります。

したがって、具割合は「(π×a'^2)/(π×R'^2)=(a'^2)/(R'^2)」です。

 

 

半径の差

次に、MサイズとLサイズの半径の違いを計算していきます。

 

Mサイズ2枚の面積=Lサイズ1枚の面積となるので、全面積をイコールでつなぐことができます。

2×(π×R^2)=π×R'^2

2×R^2=R'^2

ここで、RもR'も正なのでR'=√2×Rです。

 

 

耳幅の設定

次に、耳の幅を仮定します。

MサイズもLサイズも耳の幅は同じxとします。

すると、具部分の半径a=R-x、a'=R'-xと置くことができます。

 

具割合の比較

そうするとMサイズの具割合は、

(a^2)/(R^2)

={(R-x)^2}/(R^2)

=(R^2-2Rx+x^2)/R^2

 

Lサイズの具割合は、

(a'^2)/(R'^2)

={(R'-x)^2}/(R'^2)

={(√2×R-x)^2}/(√2×R^2)

={(√2×R-x)^2}/2R^2

=(2R^2-2√2×Rx+x^2)/2R^2

=(R^2-√2×Rx+(x^2)/2)/R^2

 

MサイズもLサイズも同量あるので、仮に1グラムだけあるとして計算してみましょう。

具割合×同量(1グラム)=具割合×1なので、前述の具割合をそのまま差をとります。

Lサイズの具割合ーMサイズの具割合

=(R^2-√2×Rx+(x^2)/2)/R^2 ー (R^2-2Rx+x^2)/R^2

={ (R^2-√2×Rx+(x^2)/2) ー (R^2-2Rx+x^2) }/R^2

={ (2-√2)Rx-(x^2)/2 }/R^2・・・(*)

 

正負の判定

(*)の正負を判断します。

正ならLサイズの方が具割合が多いことになりますし、負ならMサイズが具割合が多くお得ということになります。

 

正負判断は高校数学で頻出ですから、皆さん余裕だと思います。

私は簡単な方法しかできませんが、最も丁寧な方法なので間違いにくいですし、ぜひ復習がてら見ていって下さい。

 

まず、(*)を2つの項に分けます。

(*)={ (2-√2)Rx-(x^2)/2 }/R^2

=x/R^2×{ (2-√2)R-x/2 }

上式から、第1項「x/R^2」と第2項「{ (2-√2)R-x/2 }」に分けます。

 

2つの項は掛け算なので、”正×正”の場合と”負×負”の場合に(*)が正となり、Lの方が具面積が多くなります。

 

いま、x>0なので第1項は常に正です。

 

次に第2項は、以下のように変形して考えます。

{ (2-√2)R-x/2 }

=1/2×{ 2(2-√2)R-x }

 

正負判断に必要なのは{}内の正負です。

√2は約1.41なので2よりも小さく、2(2-√2) > 1です。

xはピザの耳幅、Rはピザ半径を表していることから、絶対にR>xです。

2(2-√2)の詳細な値はわかりませんが、1以上ということは分かっているので、仮に1だとして計算しても、1×R-x=R-x>0。

つまり、常に正です。

 

 

以上から、第1項、第2項ともに常に正であると分かりました。

つまり、(*)は常に正の値を取ります。

皆さんお忘れかもしれませんが、(*)は「Lサイズの具割合ーMサイズの具割合」を表したものなので、(*)が正ということは、Lサイズの方が具割合が多いということです。

 

結論!

というわけで、計算を飛ばさずに読んでくださった方々ありがとうございました。

結論は、LサイズとMサイズだとLサイズの方が具面積が多くて耳が少なく、Lサイズ1枚買う方がお得!ということでした。

 

 

以上今回は某ピザ屋さんでピザを購入するときに、「Mサイズ1枚買うと2枚目無料」と「Lサイズ1枚買うと半額」のどちらがお得なのかを検証してみました。

計算では様々な仮定をしているので、完全に正確とは限りません。

グラムあたりの値段を同じと置いているのはおそらく大丈夫だとは思いますが、M2枚とL1枚を同量とみなしたのは少し無理があります(笑)

Lサイズ1枚の方が小さいはずですので、お腹がすごく減っているときや色んな味を楽しみたいときにはM2枚頼む方が良い場合もあるでしょう。

まあ同量を食べるなら、大きいピザを少数頼んだ方がお得ということです。

ぜひ参考にしてみて下さい。